公司签署合同的流程如下：

1、合同承办人将相关合同草案、事项在合同审批表中填写齐备后，办理报批手续；

2、承办部门负责人审核相关业务需求，签署审批意见；

3、法务对合同条款、内容的合法性、严密性、可行性进行审查；

4、管理层对相关合同进行审核，并签署相关意见；

5、公司印鉴管控人员予以签章。

6、法律依据：《中华人民共和国民法典》第四百六十九条，当事人订立合同，可以采用书面形式、口头形式或者其他形式。

书面形式是合同书、信件、电报、电传、传真等可以有形地表现所载内容的形式。

以电子数据交换、电子邮件等方式能够有形地表现所载内容，并可以随时调取查用的数据电文，视为书面形式。

接下来就是双方按照约定执行所签署的合同。