单招函数的单调性是函数的一种基本性质，主要研究函数在其定义域内随着自变量的增加或减少，函数值是增加还是减少的问题。对于单招函数单调性的题型及方法，我们可以从以下几个方面来探讨：

1. **定义法**：

- **题型**：给定一个单招函数，要求判断其在某个区间上的单调性。

- **方法**：直接利用函数单调性的定义，即对于区间内的任意两点$ x_1, x_2 $（$ x_1 < x_2 $），若对于所有的$ x_1, x_2 $都有$ f(x_1) \\leq f(x_2) $，则函数在该区间上单调递增；若有$ f(x_1) \\geq f(x_2) $，则函数在该区间上单调递减。

2. **导数法**：

- **题型**：给定一个单招函数，要求判断其在某个区间上的单调性。

- **方法**：计算函数的导数，然后利用导数的正负来判断函数的单调性。如果导数恒大于0，则函数单调递增；如果导数恒小于0，则函数单调递减。

3. **图像法**：

- **题型**：通过观察函数的图像来判断其单调性。

- **方法**：绘制函数的图像，通过观察图像的趋势来判断函数的单调性。如果图像从左到右是上升的，则函数单调递增；如果图像从左到右是下降的，则函数单调递减。

4. **复合函数的单调性**：

- **题型**：给定一个复合函数，要求判断其在某个区间上的单调性。

- **方法**：利用链式法则计算复合函数的导数，然后根据导数的正负来判断单调性。

5. **应用题**：

- **题型**：在实际问题中，如物理运动、经济模型等，要求根据给定的条件判断函数的单调性。

- **方法**：首先将实际问题转化为函数问题，然后应用上述方法来判断单调性。

在实际解题过程中，可能需要综合运用多种方法来判断函数的单调性。下面我将通过一个具体的例子来展示如何使用这些方法。

import sympy as sp

# 定义一个函数 f(x) = x^3 - 3x

x = sp.symbols('x')

f = x**3 - 3*x

# 计算导数

f_prime = sp.diff(f, x)

# 导数的表达式

f_prime_expr = sp.simplify(f_prime)

f_prime_expr

3*x**2 - 3

对于函数 $ f(x) = x^3 - 3x $，我们计算得到它的导数为 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $。

接下来，我们可以分析这个导数的正负来判断函数的单调性：

1. 当 $ x^2 > 1 $ 即 $ x > 1 $ 或 $ x < -1 $ 时，$ f'(x) > 0 $，函数 $ f(x) $ 在这些区间上单调递增。

2. 当 $ x^2 < 1 $ 即 $ -1 < x < 1 $ 时，$ f'(x) < 0 $，函数 $ f(x) $ 在这个区间上单调递减。

因此，我们可以得出结论，函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 在区间 $ (-\\infty, -1) $ 和 $ (1, +\\infty) $ 上单调递增，在区间 $ (-1, 1) $ 上单调递减。这就是利用导数法判断函数单调性的一个例子。