一、圆的方程为:(x — a）² + （y — b)² = r²

1. 已知:圆的方程为：（x - a)² + （y — b)² = r²， 圆上一点P（x0， y0）。

求过点P的切线方程

解： 圆心C（a， b)；直线CP的斜率:k1 = ( y0— b) / ( x0- a）

因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率：k2 = -1/k1 = — (x0 - a） / （y0 - b)

根据点斜式, 求得切线方程:

- y0 = k2 （x - x0）

y — y0 = [— （x0 - a) / （y0 - b)] （x - x0）

整理得：(x — x0）（x0 - a） + （y - y0）(y0 - b) = 0 （切线方程公式）

展开后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x0² - y0² = 0 (1）

因为点P在圆上， 所以它的坐标满足方程：

（x0 - a)² + （y0 - b)² = r²

化简： x0² - 2ax0 + a² + y0² - 2by0 + b² = r²

移项： — x0² - y0² = —2ax0 — 2by0 + a² + b² - r² (2)

由（2)代入(1), 得:x0x — ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 — 2by0 + a² + b² — r²） = 0

化简：(x0x - ax — ax0 + a²） + (y0y — yb- by0 + b²) = r²

整理： (x0 — a）（x - a） + （y0 — b）（y — b) = r²

变式—1 已知：圆的方程为:(x — a）² + （y — b）² = r² , 圆外一点P（x0， y0）

二、对于圆的一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0， 过圆上的点的切线方程.

2. 已知：圆的方程为:x² + y² + Dx + Ey + F = 0, 圆上一点P（x0， y0)

解: 圆心C（ -D/2, -E/2 )

直线CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / （x0 + D/2）

因为直线CP与切线垂直， 所以切线的斜率：k2 = -1/k1 = — (x0 + D/2） / （y0 + E/2）

根据点斜式, 求得切线方程：

y - y0 = k2 （x - x0)

y - y0 = ［- （x0 + D/2） / （y0 + E/2）] （x — x0）

整理得：x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 — Dx0/2 — Ey0/2 -x0² - y0² = 0 (3)

因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程：

x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F = 0

移项： — x0² - y0² = Dx0 + Ey0 + F (4)

由（4)代入(3）， 得：x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 — Ey0/2 + Dx0 + Ey0 + F = 0

整理， x0x + y0y + D(x + x0)/2 + E（y + y0）/2 + F = 0

变式—2 已知：圆的方程为:x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ， 圆外一点P（x0， y0）