菠萝蜜的核用湿纸巾包起来，放在一个温暖、黑暗的地方，保持纸巾湿润，大约需要几周时间才能发芽。然而，具体的发芽时间取决于多种因素，包括种子的质量、环境条件等。因此，无法确定一个星期后菠萝蜜的核是否会发芽。

需要注意的是，菠萝蜜的核发芽后需要移植到土壤中才能生长成树苗。因此，如果您想让菠萝蜜的核发芽并生长成树苗，最好将其移植到土壤中。